قدر مطلق حاصل ضرب دو عدد مساوی با حاصل ضرب قدر مطلق آنهاست



قدر مطلق حاصل ضرب دو عدد مساوی با حاصل ضرب قدر مطلق آنهاست را از سایت هاب گرام دریافت کنید.

قدر مطلق ریاضی نهم ⏸???? - فاصلتو از مبدا بدون! - ریاضیکا | ریاضی آسان است

قدر مطلق ریاضی نهم ⏸???? - فاصلتو از مبدا بدون! - ریاضیکا | ریاضی آسان است

می‌خواهیم به مبحث قدر مطلق ریاضی نهم بپردازیم. برای تعریف قدر مطلق نیاز داریم تا ابتدا فاصلۀ یک نقطه از مبدأ را بررسی کنیم. بعد از این بررسی، قدر مطلق را به سادگی معرفی کرده و با خواص جالب آن در مورد جمع و ضرب اعداد آشنا می‌شویم. با خواندن این درسنامه و حل مثال‌های آن، مشکلی در درک مبحث قدر مطلق ریاضی نهم نخواهید داشت.

فاصلۀ نقطه از مبدأ

محور اعداد که در شکل زیر رسم شده است و نقاط \(\Large  A \) و \(\Large B \) را در نظر بگیرید.

فاصلۀ نقطۀ \(\Large  A=1 \) از مبدأ (صفر) برابر با یک واحد است. فاصلۀ نقطۀ \(\Large  B=-1 \) نیز از مبدأ برابر با یک واحداست. در واقع هم \(\Large  1 \) و هم \(\Large  -1 \) دارای فاصلۀ \(\Large  1 \) واحد از مبدأ هستند. از طرفی نقطۀ دیگری به غیر از این دو نقطه نیست که روی محور قرار داشته باشد و دارای فاصلۀ یک واحد از مبدأ باشد. قدر مطلق بر همین اساس تعریف می‌شود. به قسمت بعد از درسنامۀ قدر مطلق ریاضی نهم توجه کنید.

تعریف قدر مطلق در قدر مطلق ریاضی نهم

به فاصلۀ نقطۀ \(\Large  x \) از مبدأ، قدر مطلق \(\Large  x \) می‌گوییم و آن را با نماد \(\Large  |x| \) نمایش می‌دهیم. در قسمت قبل دیدیم که فاصلۀ \(\Large  1 \) و \(\Large  -1 \) از مبدأ برابر با یک است. بنابراین داریم:

\(\LARGE |-1|=|1|=1 \)

قدر مطلق اعداد مثبت، منفی و صفر

به طور کلی برای اعداد حقیقی، سه حالت زیر را داریم:

به زبان ساده اگر حاصل عبارت داخل قدر مطلق، عددی مثبت یا صفر شد، خود آن عدد از قدرمطلق بیرون می آیدو اگر منفی باشد، قرینۀ آن .

بنابراین \(\Large  |-\sqrt{6}|=\sqrt{6} \) و \(\Large  |\frac{3}{7}|=\frac{3}{7} \) است. به مثال‌های بعدی از مبحث قدر مطلق ریاضی نهم توجه کنید.

مثال 1: حاصل \(\Large  |(-2)\times 10+7| \) را به دست آورید.

حل: کافی است عبارت داخل قدر مطلق را حساب کنیم. اگر حاصل عبارت داخل قدر مطلق، عددی مثبت یا صفر شد، خود آن عدد پاسخ مسئله است و اگر منفی شد، قرینۀ آن جواب مسئله است. بنابراین داریم:

\( \Large |(-2)\times 10+7|=|-20+7|=|-13|=13 \)

به مثال‌ بعدی از مبحث قدر مطلق ریاضی نهم توجه کنید.

مثال 2: حاصل \(\Large  |3\times 8-17| \) را به دست آورید.

حل: مانند مثال قبل، حاصل عبارت داخل قدر مطلق را به دست می‌آوریم. اگر حاصل، عددی نامنفی شد خود عدد و اگر منفی شد، قرینۀ آن پاسخ مسئله خواهد بود. پس داریم:

\( \Large |3\times 8-17|=|24-17|=|7|=7 \)

قدر مطلق مجموع

به طور کلی برای محاسبۀ \(\Large  |a+b| \) که در آن \(\Large  a \) و \(\Large b \) دو عدد حقیقی دلخواه هستند، باید مانند دو مثال قبل عمل کنیم. یعنی ابتدا عبارت داخل قدر مطلق را حساب کرده و سپس با توجه به مثبت یا منفی بودن آن، حاصل قدر مطلق را به دست آوریم. اما، در هر صورتی، چه علامت داخل قدر مطلق مثبت باشد و چه منفی، قضیۀ زیر برقرار است:

قضیۀ نامساوی مثلثی:

یعنی برای هر عدد حقیقی دلخواه \(\Large  a \) و \(\Large  b \) داریم:

\(\LARGE |a+b|\leq |a|+|b| \)

اثبات این قضیه ساده است اما از آنجاییکه باید از خواص نامساوی‌ها استفاده کنیم و خواص نامساوی‌ها را سال آینده یاد خواهید گرفت، از اثبات این قضیه در این درسنامه صرف نظر می‌کنیم. به مثال‌ بعدی از مبحث قدر مطلق ریاضی نهم توجه کنید.

مثال 3: برقراری نامساوی مثلثی را برای دو عبارت \(\Large  |-3+2| \) و \(\Large  |2+5| \) بررسی کنید.  

حل: در مورد عبارت \(\Large  |-3+2| \) داریم:

\(\Large  |-3+2|=|-1|=1 \)

\(\Large  |-3|+|2|=3+2=5 \)

\(\Large  \Rightarrow |-3+2|< |-3|+|2| \)

در مورد عبارت \(\Large  |2+5| \) نیز داریم:

\(\Large  |2+5|=|7|=7 \)

\(\Large  |2|+|5|=2+5=7 \)

\(\Large  \Rightarrow |2+5|=|2|+|5| \)

بنابراین صحت قضیۀ نامساوی مثلثی را برای دو عبارت داده شده در مثال می‌بینیم.

قدر مطلق حاصل ضرب

قدر مطلق حاصل ضرب هر دو عدد حقیقی دلخواه برابر است با حاصل ضرب قدر مطلق هر کدام از آن‌ها. یعنی به ازای هر دو عدد حقیقی دلخواه \(\Large  a\) و \(\Large  b \) داریم: 

\(\LARGE |a\times b|=|a|\times |b| \)

بیایید این گزاره را ثابت کنیم. برای \(\Large  a\) و \(\Large  b \) چهار حالت داریم:

به زبان ساده داریم:

همان‌طور که دیدید در هر چهار حالت، قدر مطلق حاصل ضرب دو عدد برابر با حاصل ضرب قدر مطلق آن‌ها خواهد شد. به مثال‌ بعدی از مبحث قدر مطلق ریاضی نهم توجه کنید.

مثال 4: حاصل \(\Large  |(-3)\times 5| \) را با استفاده از قضیۀ قبل محاسبه کنید.

حل: همان‌طور که گفتیم، قدر مطلق حاصل ضرب هر دو عدد حقیقی دلخواه برابر است با حاصل ضرب قدر مطلق هر کدام از آن‌ها. بنابراین داریم:

\( \Large |(-3)\times 5|=|-3|\times |5|=3\times 5=15 \)

قدر مطلق و محاسبه تقریبی

گاهی برای محاسبۀ قدر مطلق، لازم است تا مقادیر تقریبی یک عبارت (به خصوص مقدار تقریبی یک جذر) را محاسبه کرده و قدر مطلق را به دست آوریم. برای اینکه بهتر متوجه شوید، به مثال زیر از مبحث قدر مطلق ریاضی نهم دقت کنید.

مثال 5: عبارت \(\Large  |1-\sqrt{3}| \) را ساده کنید.

حل: می‌دانیم \(\Large  \sqrt{3} \) حدوداً \(\Large  1.7 \) است. حتی اگر این را هم ندانیم، می‌دانیم \(\Large  \sqrt{3} \) عددی بزرگتر از یک است. بنابراین حاصل \(\Large  1-\sqrt{3} \) عددی منفی است پس قرینه اش از قدرمطلق خارج می شود.. در نتیجه داریم:

\( \Large |1-\sqrt{3}|=-(1-\sqrt{3})=\sqrt{3}-1 \)

به مثال بعد از مبحث قدر مطلق ریاضی نهم دقت کنید.

مثال 6: عبارت \(\Large  |1.8-\sqrt{2}|-|\sqrt{2}-2| \) را ساده کنید.

حل: مقدار \(\Large  \sqrt{2} \) به صورت تقریبی \(\Large  1.4 \) است. در نتیجه، \(\Large  1.8-\sqrt{2} \) عبارتی مثبت پس خودش از قدرمطلق خارج می شودو \(\Large  \sqrt{2}-2 \) عبارتی منفی است پس قرینه اش از قدرمطلق خارج می شود. بنابراین داریم:

\(\Large  |1.8-\sqrt{2}|=1.8-\sqrt{2} \)

\(\Large  |\sqrt{2}-2|=2-\sqrt{2} \)

\(\Large  \Rightarrow |1.8-\sqrt{2}|-|\sqrt{2}-2| \)

\(\Large  =(1.8-\sqrt{2})-(2-\sqrt{2}) \)

\(\Large  =1.8-2=-0.2 \)

ارتباط قدر مطلق و ریشۀ دوم در قدر مطلق ریاضی نهم

اگر \(\Large  a\) یک عدد حقیقی باشد و بخواهیم \(\Large  \sqrt{a^2}\) و \(\Large  |a|\) را به دست آورده و با یکدیگر مقایسه کنیم، بر اساس اینکه \(\Large  a\) مثبت است یا منفی، دو حالت رخ خواهد داد:

همان‌طور که دیدید، در هر دو حالت، ریشۀ دوم مجذور یک عدد حقیقی برابر با قدر مطلق آن عدد شد. بنابراین برای هر عدد حقیقی دلخواه \(\Large  a\) داریم:

\(\LARGE \sqrt{a^2}=|a|\)

زنگ آخر کلاس قدر مطلق ریاضی نهم

همان‌طور که دیدید، قدر مطلق یک عدد حقیقی برابر است با فاصلۀ آن عدد روی محور از مبدأ. قدر مطلق یک عدد مثبت برابر با خود آن عدد و قدر مطلق یک عدد منفی برابر با قرینۀ آن بود. از طرفی دو خاصیت جالب زیر را برای قدر مطلق جمع و ضرب دیدیم:

در پایان، ار تباط قدر مطلق و ریشۀ دوم مجذور یک عدد را نیز بررسی کردیم. شما می‌توانید آموزش رسم نمودار تابع قدرمطلق را نیز در این سایت مطالعه کنید.  ما در ریاضیکا آماده‌ی هر کمکی برای موفقیت شما در ریاضی هستیم. هر سوالی در ارتباط با مبحث قدرمطلق ریاضی نهم دارید، در دیدگاه‌ها بنویسید. کارشناسان ما به سوال شما پاسخ خواهند ‌داد.

منبع مطلب : riazica.com

مدیر محترم سایت riazica.com لطفا اعلامیه بالای سایت را مطالعه کنید.

قدر مطلق (ریاضی)

قدر مطلق (ریاضی)

قدر مطلق یا مقدار مطلق در ریاضیات، قدر مطلقِ عددی حقیقی، مقدار عددی آن بدون در نظر گرفتن علامتش است. پس قدر مطلق یک عدد همواره نامنفی است؛ یعنی یا مثبت است یا صفر. به بیان دیگر، قدر مطلقِ یک عدد برابر است با فاصله آن عدد تا صفر.

قدر مطلق در بسیاری از بخش‌های گوناگون ریاضی کاربرد دارد که از آن میان می‌توان از مجموعهٔ اعداد مختلط، چهارگان‌ها، میدان‌ها، فضای برداری نام برد. قدر مطلق را در فیزیک و ریاضی بیش از همه می‌توان به مفهوم بزرگی، فاصله و نُرم نزدیک دانست.

پیشینه[ویرایش]

در سال ۱۸۰۶ ژان رابرت ارگاند مفهوم «قدر مطلق» و یکای «اندازه‌گیری» را به فرانسوی معرفی کرد، که البته توجه ویژهٔ وی بیشتر بر روی اعداد مختلط بود.[۱][۲] در سال ۱۸۶۶ این مفهوم به زبان انگلیسی برده شده و نام هم سنگ modulus برای آن از لاتین انتخاب شد.[۱] مفهوم absolute value در زبان فرانسوی حداقل از ۱۸۰۶ کاربرد داشته‌است[۳] و از ۱۸۵۷ در انگلیسی استفاده می‌شد.[۴] نماد | a | برای قدر مطلق در سال ۱۸۴۱ از سوی کارل ویرسترس پیشنهاد شد.[۵] دیگر نام‌های قدر مطلق، عبارتند از مقدار عددی (به انگلیسی: the numerical value)[۱] و بزرگی (به انگلیسی: the magnitude) است.[۱]

مفهوم و ویژگی‌ها[ویرایش]

اعداد حقیقی[ویرایش]

برای هر عدد حقیقی a قدر مطلق که آن را با |a| نمایش می‌دهیم به صورت زیر تعریف می‌شود:

همان گونه که در بالا نشان داده شده‌است قدر مطلق یک عدد همواره صفر یا مثبت است و هرگز منفی نیست.

در هندسهٔ تحلیلی قدر مطلق یک عدد حقیقی برابر است با فاصلهٔ آن تا صفر بر روی یک خط حقیقی؛ در حالت کلی قدر مطلق تفاضل دو عدد برابر است با فاصلهٔ میان آن دو عدد. در واقع می‌توان گفت که مفهوم تابع فاصله در ریاضی همان قدر مطلق تفاضل است که در حالت کلی بیان شده‌است.

ریشهٔ دوم یک عدد را می‌توان به صورت زیر نشان داد:

که گاهی از آن به عنوان تعریف قدر مطلق استفاده می‌شود.[۶]

چهار ویژگی اصلی قدر مطلق عبارتند از:

دیگر ویژگی‌های آن عبارتند از:

اگر فرض کنیم که b> ۰ است آنگاه دو ویژگی دیگر قدر مطلق می‌توان چنین نوشت:

از این ویژگی‌ها می‌توان در حل نامساوی‌ها استفاده کرد؛ برای نمونه:

از قدر مطلق دز تعیین فاصلهٔ مطلق در سامانهٔ متری در مجموعه اعداد حقیقی استفاده می‌شود.

اعداد مختلط[ویرایش]

از آنجایی که اعداد مختلط دارای ترتیب کامل نیستند، تعریفی که در بالا برای قدر مطلق اعداد حقیقی گفته شد را نمی‌توان به‌طور مستقیم برای یک عدد مختلط به کار برد. از تعریف (۱) که در بالا گفته شد استفاده می‌کنیم:

برای هر عدد مختلط داریم:

که در آن x {\displaystyle x} و y {\displaystyle y} هردو اعدادی حقیقی‌اند. قدر مطلق z {\displaystyle z} که آن را با |z| نمایش می‌دهیم به صورت زیر تعریف می‌شود:

بنابراین قدر مطلق یک عدد حقیقی مانند X {\displaystyle X} را می‌توان با استفاده از مفهوم اعداد مختلط به صورت زیر نشان داد:

مشابه ترجمهٔ هندسی قدر مطلق اعداد حقیقی، در قدر مطلق اعداد مختلط نیز از مفهوم قضیهٔ فیثاغورس استفاده می‌شود. قدر مطلق یک عدد مختلط برابر است با فاصلهٔ آن عدد مختلط در صفحهٔ مختلط از مبدا و در حالت کلی تر قدر مطلق تفاضل دو عدد مختلط برابر است با فاصلهٔ میان آن دو.

تمامی ویژگی‌هایی که برای قدر مطلق اعداد حقیقی بیان شد، از (۲) تا (۱۰) برای قدر مطلق اعداد مختلط نیز وجود دارد. اگر داشته باشیم:

آنگاه مزدوج مختلط z {\displaystyle z} عبارت است از:

حال به آسانی می‌توان نشان داد که:

و

با توجه به فرمولی آخر که گفته شد و ویژگی‌های قدر مطلق، توان ۲ قدر مطلق z {\displaystyle z} به صورت زیر نوشته می‌شود:

تابع‌های قدر مطلق[ویرایش]

تابع حقیقی قدر مطلق در همه جا پیوسته است و در همه جا به جز نقطهٔ x = ۰ مشتق‌پذیر است. این تابع در بازهٔ [۰ ∞-) اکیداً نزولی و در بازهٔ (∞+ ۰] اکیداً صعودی است و چون قدر مطلق عدد مثبت و منفی با هم برابر است پس تابعی زوج است و وارون ناپذیر.

تابع مختلط قدر مطلق در همه جا پیوسته‌است ولی هیچ جا مشتق‌پذیر نیست. (نگاه کنید به معادلات کوشی-ریمان)
در هر دو تابع مختلط و حقیقی قدر مطلق، تابع مرکب خود آن‌ها به صورت f ( f ( x ) ) {\displaystyle f(f(x))} با خود تابع f ( x ) {\displaystyle f(x)} برابر است.
تابعی محدب و غیرخطی است.

مشتق[ویرایش]

مشتق تابع قدر مطلق حقیقی برابر است با تابع علامت که با نماد sgn نمایش داده می‌شود، تابع زیر تنها به ازای xهای ناصفر تعریف شده‌است:

تابع قدر مطلق حقیقی در x = ۰ مشتق‌پذیر نیست.
یادآوری: تابع علامت تابعی است که بدون توجه به مقدار x تنها علامت x را نشان می‌دهد بنابراین می‌توان گفت که x = s g n ( x ) a b s ( x ) {\displaystyle x=sgn(x)abs(x)}

تابع علامت را می‌توان به گونه‌ای شبیه تابع پله‌ای هویساید دانست؛ این تابع عبارت است از:

که مقدار تابع هویساید در صفر تعریف شده‌است. پس به ازای تمامی اعداد حقیقی ناصفر داریم:

تابع قدر مطلق حقیقی در هیچ نقطه‌ای دارای تقعر نیست چون مشتق اول آن یعنی تابع علامت، در تمامی نقاط مقدار ثابت دارد پس مشتق دوم آن نسبت به x صفر است.

تابع قدر مطلق حقیقی انتگرال پذیر است. انتگرال آن عبارت است از:

چون x۲ = |x|۲ است:

نمودار تابع قدر مطلق[ویرایش]

روش انتقال[ویرایش]

فرم کلی تابع قدر مطلق به صورت زیر است:


f ( x ) = a | x − h | + k {\displaystyle f(x)=a|x-h|+k}



نکته: اگر | a | {\displaystyle |a|} بزرگتر از یک باشد دهانه قدر مطلق بسته تر خواهد شد. (کشش عمودی)

نکته: اگر | a | {\displaystyle |a|} بین صفر و یک باشد دهانه باز تر خواهد شد. (کشش افقی)

روش نقطه یابی[ویرایش]

در این روش ابتدا راس قدر مطلق را پیدا می‌کنیم که برابر است با S ( − h , k ) {\displaystyle S(-h,k)} سپس با استفاده از دو نقطه کمکی که یک واحد قبل و بعد طول راس می‌باشد نمودار را رسم می‌کنیم.

نکته: اگر داخل تابع قدر مطلق، تابع دیگری قرار بگیرد مانند سهمی. ابتدا نمودار تابع داخل قدر مطلق را رسم می‌کنیم سپس اگر قسمتی از نمودار زیر محور xها قرار گرفته باشد. قرینه آن را نسبت به محور xها در بالای محور رسم می‌کنیم.

فاصله[ویرایش]

مفهوم قدر مطلق و فاصله با یکدیگر رابطهٔ مستقیم دارند. همان گونه که در بالا گفته شد، قدر مطلق یک عدد حقیقی یا مختلط برابر است با فاصلهٔ آن عدد تا نقطهٔ مرجع و به صورت کلی تر قدر مطلق تفاضل دو عدد حقیقی یا دو عدد مختلط برابر است با فاصلهٔ میان آن دو.

فاصلهٔ اقلیدوسی استاندارد میان دو نقطه:

و

که در فضای n بعدی اقلیدوسی به صورت زیر تعریف می‌شود:

اگر a و b دو عدد در مجموعهٔ اعداد حقیقی باشند، در حالت کلی | a − b | را می‌توان به صورت زیر نمایش داد:

و چنانچه a و b مختلط باشند:

و

آنگاه |a - b| به صورت زیر است:

رابطه‌های بالا نشان می‌دهد که قدر مطلق فاصله برای اعداد حقیقی یا مختلط در هر دو حالت با فاصلهٔ استاندارد اقلیدوسی آنان برابر است.

قدر مطلق فاصلهٔ میان دو عدد حقیقی یا مختلط، همواره نامنفی است. اگر تابع حقیقی d را به عنوان تابع فاصله تعریف کنیم، این تابع دارای ویژگی‌های زیر خواهد بود:[۷]

در حالت کلی[ویرایش]

حلقه‌های مرتب[ویرایش]

تعریف قدر مطلق در اعداد حقیقی را می‌توان به آسانی برای حلقه‌های مرتب گسترش داد. اگر a یک عضو حلقهٔ مرتب R باشد، آنگاه قدر مطلق a که آن را با | a | نمایش می‌دهند به صورت زیر تعریف می‌شود:

که در آن a − وارون a در جمع و صفر، عضو بی‌اثر در جمع است.

میدان‌ها[ویرایش]

ویژگی‌های بنیادی قدر مطلق برای اعداد حقیقی، که در بالا گفته شد، شماره‌های ۲ تا ۵، را می‌توان برای هر میدان دلخواهی گسترش داد:

تابع حقیقی v در می‌دانی مانند F را قدر مطلق (یا بزرگی یا مقدار) می‌نامند، اگر ویژگی‌های زیر را داشته باشد:

در رابطه‌های بالا، صفر عضو بی‌اثر در جمع برای F است. همچنین از شرط سوم می‌توان دریافت که v(۱) = ۱ در نتیجه ۱ عضو بی‌اثر در ضرب برای F است. قدر مطلق اعداد حقیقی و مختلط که در بالا گفته شدند حالت خاصی از قدر مطلق در میدان‌ها بودند.

اگر v یک قدر مطلق روی F باشد، آنگاه تابع d روی F × F به صورت زیر است:

حال خواهیم داشت:

فضای برداری[ویرایش]

در مبحث بردارها قدر مطلق بیانگر طول یک بردار می‌باشد

پانوشت[ویرایش]

نمودار تابع قدر مطلق

مطالعه بیشتر[ویرایش]

یادداشت و منبع[ویرایش]

منبع مطلب : fa.wikipedia.org

مدیر محترم سایت fa.wikipedia.org لطفا اعلامیه بالای سایت را مطالعه کنید.

قدر مطلق

       در ریاضیات، قدر مطلق عددی حقیقی، مقدار عددی آن بدون در نظر گرفتن علامتش است. پس قدر مطلق یک عدد همواره نامنفی است یعنی یا مثبت است یا صفر. به بیان دیگر، قدر مطلق یک عدد برابر است با فاصله آن عدد تا صفر. در ادامه به بررسی هفت ویژگی قدر مطلق اعداد حقیقی می پردازیم.

ویژگی اول

توضیح :

 قدر مطلق یک عدد حقیقی، در واقع برابر است با ریشه دوم مربع آن عدد.

ویژگی دوم

توضیح :

 قدر مطلق یک عدد حقیقی، همواره بزرگتر یا مساوی صفر است.

ویژگی سوم

توضیح :

 قدر مطلق حاصل ضرب دو عدد حقیقی، با حاصل ضرب قدر مطلق آن ها برابر است.

ویژگی چهارم

توضیح :

قدر مطلق حاصل جمع دو عدد حقیقی، همواره کوچکتر یا مساوی حاصل جمع قدر مطلق آن ها است.

ویژگی پنجم

توضیح :

قدر مطلق هر عدد حقیقی، با قدر مطلق قرینه همان عدد برابر است.

ویژگی ششم

توضیح :

هرگاه قدر مطلق تفاضل دو عدد با صفر برابر شود، نتیجه می شود که آن دو عدد با هم برابرند.

 زیرا قدر مطلق تفاضل دو عدد، بیانگر فاصله آنهاست و اگر فاصله دو عدد صفر باشد، آن دو عدد برابرند.

ویژگی هفتم

توضیح :

 قدر مطلق حاصل تقسیم دو عدد حقیقی، با حاصل تقسیم قدر مطلق آنها برابر است.

منبع : www.mapla.blogfa.com

هرگونه کپی برداری از این مطلب با ذکر منبع و درج لینک مجاز می باشد.

منبع مطلب : mapla.blogfa.com

مدیر محترم سایت mapla.blogfa.com لطفا اعلامیه بالای سایت را مطالعه کنید.

جواب کاربران در نظرات پایین سایت

مهدی : نمیدونم, کاش دوستان در نظرات جواب رو بفرستن.

نظر خود را بنویسید

آخرین مطالب